13. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 45, sinA = 1/3. Найдите AH.

Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°. 2. Дано: AB = 45, sinA = 1/3. 3. Наша задача - найти AH, где CH - высота. 4. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) синус угла \(A\) определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB): \(\sin A = \frac{BC}{AB}\) \(\frac{1}{3} = \frac{BC}{45}\) \(BC = \frac{45}{3} = 15\) 5. Используем теорему Пифагора для треугольника ABC, чтобы найти AC: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\) \(AC^2 = AB^2 - BC^2\) \(AC^2 = 45^2 - 15^2 = 2025 - 225 = 1800\) \(AC = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2}\) 6. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В этом треугольнике косинус угла A определяется как отношение прилежащего катета (AH) к гипотенузе (AC): \(\cos A = \frac{AH}{AC}\) Мы знаем, что \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\) \(\cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\) \(\cos A = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) 7. Теперь можем найти AH: \(AH = AC \cdot \cos A = 30\sqrt{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 10 \cdot 2 \cdot 2 = 40\) Ответ: 40