11. В треугольнике ABC угол A равен 45°, AH - высота. Окружность, проходящая через точки A, H и С, пересекает сторону AB в точке E. Найдите радиус этой окружности, если ЕС = 4√2.

Пусть O – центр окружности, проходящей через точки A, H, C, E. Так как AH – высота, то угол AHC = 90°. Поскольку точки A, H, C, E лежат на одной окружности, четырехугольник AHCE – вписанный. Угол AEC является внешним углом треугольника AHC, поэтому \( \angle AEC = 180° - \angle AHC = 180° - 90° = 90° \). Следовательно, AC – диаметр окружности. Так как угол A равен 45°, то угол C = 180° - 90° - 45° = 45°. Значит, треугольник ABC – равнобедренный, и AC = BC. Рассмотрим треугольник AEC. В нем угол A равен 45°, и угол E = 90°, значит, угол ACE тоже равен 45°. Следовательно, треугольник AEC – равнобедренный, и AE = EC = \( 4\sqrt{2} \). По теореме синусов для треугольника AEC: \( \frac{EC}{\sin A} = 2R \) \( \frac{4\sqrt{2}}{\sin 45°} = 2R \) \( \frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R \) \( 4\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 2R \) \( 8 = 2R \) \( R = 4 \) Радиус окружности равен 4.