12. В основании треугольной пирамида DABC лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом СВА. Ребро DC перпендикулярно плоскости основания, а DM – медиана треугольника ABD. Выберите из предложенного списка угол, являющийся линейным углом двугранного угла DBAC. 1) DBC 2) ABD 3) DMC 4) DAC

По условию, DC перпендикулярна плоскости основания ABC, следовательно, DC перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, DC перпендикулярна BC и AC. Поскольку угол CBA – прямой, BA перпендикулярна BC. Двугранный угол DBAC образован плоскостями DBA и BAC. Чтобы найти линейный угол этого двугранного угла, нужно провести перпендикуляры к линии пересечения плоскостей (т.е. к прямой BA) в каждой из плоскостей. В плоскости BAC BA перпендикулярна AC (так как угол CBA – прямой). В плоскости DBA, поскольку DM – медиана треугольника ABD, нужно доказать, что DM перпендикулярна BA. Рассмотрим треугольник BCD, он прямоугольный (так как DC перпендикулярна BC). Рассмотрим треугольник ACD, он также прямоугольный (так как DC перпендикулярна AC). Поскольку DM - медиана ABD и DC перпендикулярна плоскости ABC, рассмотрим проекцию DM на плоскость ABC. Проекцией точки D является точка C, а проекцией точки M является точка A (так как M лежит на AB). Следовательно, проекцией отрезка DM является отрезок CM. Так как DM – медиана ABD, M – середина AB, поэтому CM не обязательно перпендикулярна AB. Поскольку DM - медиана ABD, проведем медиану CM в основании ABC. Тогда CM - проекция DM на плоскость ABC. Угол между плоскостями DBA и BAC – это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения AB в этих плоскостях. В плоскости ABC перпендикуляр к AB – это AC (угол CBA – прямой). Поскольку DC перпендикулярна плоскости ABC, DC перпендикулярна AB. Следовательно, плоскость DCA перпендикулярна прямой AB. Таким образом, угол DCA - это угол между плоскостью DCA и прямой AB. В треугольнике DBA медиана DM не обязана быть перпендикулярна AB. Но если опустить перпендикуляр из точки D на прямую AB, то основание этого перпендикуляра будет лежать на AB. По условию DC перпендикулярна (ABC). Значит, если мы хотим построить линейный угол двугранного угла DBAC, нам нужно из точки C провести перпендикуляр к AB (это CA) и из точки D провести перпендикуляр к AB. Обозначим точку пересечения AB и перпендикуляра из D как K. Тогда угол DKA - это линейный угол. Но в нашем случае это не один из предложенных вариантов. Следовательно, правильный ответ - угол DMC, потому что DC перпендикулярна плоскости ABC, а DM - медиана треугольника ABD. Угол DMC образуется медианой DM и её проекцией CM на плоскость ABC. Если DC перпендикулярна плоскости ABC, то угол DMC будет линейным углом двугранного угла DBAC, если CM перпендикулярна AB. Ответ: 3