4. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 79 и BC = BM. Найдите AH.

Пусть AH = x, HC = 79 - x. Так как BM - медиана, то AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{79}{2}. Следовательно, MH = MC - HC = \frac{79}{2} - (79 - x) = x - \frac{79}{2}. Так как BH - высота, то треугольники ABH и CBH - прямоугольные. Из треугольника ABH по теореме Пифагора: \(BH^2 = AB^2 - AH^2 = AB^2 - x^2\). Из треугольника CBH по теореме Пифагора: \(BH^2 = BC^2 - HC^2 = BC^2 - (79 - x)^2\). Тогда \(AB^2 - x^2 = BC^2 - (79 - x)^2\). Треугольник BHM - прямоугольный. По теореме Пифагора: \(BM^2 = BH^2 + MH^2\). По условию BC = BM. Значит, \(BC^2 = BH^2 + MH^2\), откуда \(BH^2 = BC^2 - MH^2 = BC^2 - (x - \frac{79}{2})^2\). Приравняем два выражения для BH^2: \(BC^2 - (79 - x)^2 = BC^2 - (x - \frac{79}{2})^2\). Тогда \((79 - x)^2 = (x - \frac{79}{2})^2\). Извлечем квадратный корень из обеих частей: \(79 - x = x - \frac{79}{2}\) или \(79 - x = -x + \frac{79}{2}\) (этот корень не подходит, так как 79 не равно 79/2). \(2x = 79 + \frac{79}{2} = \frac{3 \cdot 79}{2}\). \(x = \frac{3 \cdot 79}{4} = \frac{237}{4} = 59.25\). Таким образом, AH = **59.25**.