5. В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Так как BM - медиана, то AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{216}{2} = 108. Следовательно, MH = MC - HC = 108 - 54 = 54. Значит, MH = HC = 54. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. У него MH = HC. Значит, углы ∠HBC = ∠MBC = 45°. Тогда ∠BHM = 180 - 45 - 90 = 45°. Следовательно, треугольник BHM равнобедренный, BH = MH = 54. Рассмотрим треугольник ABH. Угол ∠AHB прямой. Катет BH = 54. Катет AH = AM + MH = 108 + 54 = 162. Следовательно, tg ∠HAB = \frac{BH}{AH} = \frac{54}{162} = \frac{1}{3}. Значит, ∠HAB = arctg \frac{1}{3}. Угол ∠ABH = 90 - ∠HAB = 90 - arctg \frac{1}{3}. Рассмотрим треугольник ABC. ∠A + ∠B + ∠C = 180°. ∠A = arctg \frac{1}{3}. ∠C = 40°. Значит, ∠B = 180 - arctg \frac{1}{3} - 40 = 140 - arctg \frac{1}{3}. ∠MBC = 45°. Следовательно, ∠MBA = ∠B - ∠MBC = 140 - arctg \frac{1}{3} - 45 = 95 - arctg \frac{1}{3}. В треугольнике ABM ∠A + ∠B + ∠AMB = 180°. ∠AMB = 180 - ∠A - ∠ABM = 180 - arctg \frac{1}{3} - 95 + arctg \frac{1}{3} = 85. Угол AMB = **85**.