В треугольнике ABC отмечены точки D на AB и E на AC так, что ∠ADE = ∠CBA, AE = 8, DE = 10, BC = 30, а BD на 15 больше, чем AD. Найди AB, AC.

Решение: 1. Обозначим AD как x, тогда BD = x + 15. 2. Рассмотрим треугольники ADE и CBA. Так как ∠ADE = ∠CBA и треугольники подобны, то: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}. \] 3. Подставим известные значения: \[ \frac{x}{AB} = \frac{8}{AC} = \frac{10}{30}. \] 4. Из третьего отношения найдём AC: \[ \frac{10}{30} = \frac{1}{3}, \quad AC = 3 \cdot 8 = 24. \] 5. Из второго отношения: \[ \frac{x}{AB} = \frac{1}{3}, \quad AB = 3 \cdot x. \] 6. С учётом BD = x + 15 и AB = AD + BD, получаем: \[ AB = x + (x + 15) = 3x. \] 7. Решаем уравнение: \[ x + x + 15 = 3x, \quad 2x + 15 = 3x, \quad x = 15. \] 8. Тогда: \[ AB = 3 \cdot 15 = 45, \quad AC = 24. \] Ответ: \[ AB = 45, \quad AC = 24. \]