4) В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 20 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах – одно штрафное очко, за каждый последующий – на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 17,5 штрафных очков?

Пусть x - количество промахов. Тогда количество очков за промахи образует арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 0,5. Сумма очков за x промахов равна 17,5. \(S_x = \frac{2a_1 + (x - 1)d}{2} * x\), где \(a_1 = 1\), \(d = 0.5\). Подставляем и решаем: \(17.5 = \frac{2 + (x - 1)0.5}{2} * x\). \(35 = (2 + 0.5x - 0.5)x\), \(35 = (1.5 + 0.5x)x\), \(35 = 1.5x + 0.5x^2\), \(0.5x^2 + 1.5x - 35 = 0\). Умножаем на 2: \(x^2 + 3x - 70 = 0\). Решаем квадратное уравнение: \(D = 3^2 - 4*1*(-70) = 9 + 280 = 289\), \(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{289}}{2} = \frac{-3 + 17}{2} = \frac{14}{2} = 7\), \(x_2 = \frac{-3 - 17}{2} = -10\) (не подходит). Значит, промахов 7. Всего выстрелов 20, следовательно, попаданий 20 - 7 = 13. Ответ: 13