18) В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Найдите BD, если меньшее основание трапеции равно \(5\sqrt{2}\).

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AD и BC - основания, угол A равен 45°, AC - биссектриса угла A, BC = \(5\sqrt{2}\). Необходимо найти BD. 1. Так как AC - биссектриса угла A, то угол BAC = углу CAD = \(45° / 2 = 22.5°\). 2. Так как трапеция прямоугольная, то угол ABC = 90°. Тогда в треугольнике ABC угол ACB = 180° - 90° - 22.5° = 67.5°. 3. Рассмотрим треугольник ACD. Угол CAD = 22.5°. Угол ADC = 90°. Следовательно, угол ACD = 180° - 90° - 22.5° = 67.5°. 4. Поскольку угол ACB = углу ACD = 67.5°, то AC является биссектрисой угла BCD. 5. Опустим высоту CH на основание AD. Тогда BCH - прямоугольный треугольник и BC = \(5\sqrt{2}\). Также HD = BC = \(5\sqrt{2}\). 6. Треугольник ACH: так как угол CAD = 22.5, а угол CHD = 90, то в прямоугольном треугольнике ACH, угол CAH равен 45/2 = 22,5 градуса. Следовательно, CH = BC = \(5\sqrt{2}\). 7. Так как угол A = 45, а трапеция прямоугольная, AD=AH + HD, следовательно AH = CH. 8. AD = AH + HD = \(5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 10\sqrt{2}\). 9. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Найдем BD по теореме Пифагора: \(BD^2 = AD^2 + AB^2\) \(BD = \sqrt{AD^2 + AB^2}\). 10. Так как AB = CH, то AB = \(5\sqrt{2}\). Тогда, \(BD = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2} = \sqrt{200 + 50} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}\). Ответ: \(5\sqrt{10}\)