11. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 35, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна $14\sqrt{6}$. Найдите sin ABC.

Для решения этой задачи нам потребуется использовать свойства прямоугольных треугольников и тригонометрические функции. 1. Обозначим угол ABC как $\beta$. Тогда sin $\beta$ = $\frac{AC}{AB}$. Наша задача - найти AB. 2. Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами: $\frac{1}{2} * AC * BC$ и $\frac{1}{2} * AB * CH$. 3. Приравняем оба выражения для площади: $\frac{1}{2} * AC * BC = \frac{1}{2} * AB * CH$, откуда $AC * BC = AB * CH$. 4. Выразим BC через AB и AC, используя теорему Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2$, следовательно, $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}$. 5. Подставим BC в уравнение из шага 3: $AC * \sqrt{AB^2 - AC^2} = AB * CH$. 6. Подставим известные значения: $35 * \sqrt{AB^2 - 35^2} = AB * 14\sqrt{6}$. 7. Разделим обе части уравнения на 7: $5 * \sqrt{AB^2 - 1225} = AB * 2\sqrt{6}$. 8. Возведем обе части уравнения в квадрат: $25 * (AB^2 - 1225) = AB^2 * 4 * 6$, что упрощается до $25AB^2 - 30625 = 24AB^2$. 9. Решим уравнение относительно $AB^2$: $AB^2 = 30625$. 10. Найдем AB: $AB = \sqrt{30625} = 175$. 11. Теперь найдем sin $\beta$ = $\frac{AC}{AB} = \frac{35}{175} = \frac{1}{5}$. Ответ: $\frac{1}{5}$