16. В правильной треугольной пирамиде SABC точка S - вершина, точка M - середина ребра SA, точка K - середина ребра SB. Найдите расстояние от вершины C до прямой MK, если SC = 6, AB = 4.

Решение: 1. Определим параметры пирамиды: - SC = 6 (длина бокового ребра). - AB = 4 (длина стороны основания). 2. Определим положение точек M и K: - Точка M - середина ребра SA, следовательно, SM = MA = SA/2. - Точка K - середина ребра SB, следовательно, SK = KB = SB/2. 3. Так как пирамида правильная, все боковые ребра равны, и основание – правильный треугольник. Значит, SA = SB = SC = 6, и AC = BC = AB = 4. Следовательно, AM = AK = 6 / 2 = 3. 4. Задача сводится к нахождению расстояния от точки С до прямой МК. Рассмотрим треугольник SAB. Прямая МК является средней линией треугольника SAB (так как M и K – середины сторон SA и SB, соответственно). Значит, MK || AB и MK = AB / 2 = 4 / 2 = 2. 5. Поскольку MK || AB, плоскость, содержащая MK и параллельная AB, будет параллельна плоскости ABC. Расстояние от точки С до прямой MK в плоскости SMKS будет равно высоте треугольника SMK, опущенной из точки S. 6. Рассмотрим проекцию точек на плоскость основания. Пусть O – центр основания ABC. Так как пирамида правильная, SO – высота пирамиды. Расстояние от точки C до AB можно найти, зная, что CO = (2/3) * h, где h – высота правильного треугольника ABC. 7. Высота правильного треугольника ABC: $h = \frac{\sqrt{3}}{2} * AB = \frac{\sqrt{3}}{2} * 4 = 2\sqrt{3}$. Тогда, CO = (2/3) * 2√3 = (4√3)/3. 8. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOC. SC = 6, CO = (4√3)/3. Найдем SO (высоту пирамиды): $SO = \sqrt{SC^2 - CO^2} = \sqrt{6^2 - (\frac{4\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{36 - \frac{16 * 3}{9}} = \sqrt{36 - \frac{16}{3}} = \sqrt{\frac{108 - 16}{3}} = \sqrt{\frac{92}{3}} = 2\sqrt{\frac{23}{3}}$ 9. Определим расстояние от точки С до прямой MK. Рассмотрим треугольник CSM. Поскольку MK || AB, и МК является средней линией треугольника SAB, то плоскость, содержащая MK, параллельна плоскости ABC. Расстояние от С до МК будет равно высоте СН треугольника CSM. 10. Проведем высоту из C на MK. Пусть CH – высота. Треугольник SMК подобен треугольнику SAB с коэффициентом подобия 1/2. Расстояние от С до МК будет равно расстоянию от С до АВ, так как МК || AB. 11. В плоскости основания ABC рассмотрим высоту CH из вершины C на сторону AB. Длина этой высоты $h = 2\sqrt{3}$. **Ответ: $2\sqrt{3}$**