16. В правильной треугольной пирамиде SABC точка S – вершина, точка M – середина ребра SA, точка K – середина ребра SB. Найдите расстояние от вершины C до прямой MK, если SC = 6, AB = 4.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SABC. Дано: SC = 6, AB = 4, M - середина SA, K - середина SB. Найти: Расстояние от C до MK. Решение: 1. Т.к. пирамида правильная, в основании лежит равносторонний треугольник, поэтому AB = BC = AC = 4. Боковые ребра также равны, поэтому SA = SB = SC = 6. 2. Найдем координаты точек. Примем точку A за начало координат. Пусть A = (0,0,0). Т.к. треугольник ABC лежит в плоскости xy, а треугольник равносторонний, то координаты B = (4,0,0) и C = (2, 2√3, 0). 3. Найдем координаты точки S. Т.к. AS = 6, то координаты S = (x,y,z), где x^2 + y^2 + z^2 = 36. Проекция S на плоскость ABC - центр треугольника ABC, то есть точка O = (2, 2√3/3, 0). Тогда S = (2, 2√3/3, z). Подставим в уравнение AS: 4 + 4*3/9 + z^2 = 36 4 + 4/3 + z^2 = 36 12/3 + 4/3 + z^2 = 108/3 16/3 + z^2 = 108/3 z^2 = 92/3 z = √(92/3) = 2√(23/3) Тогда S = (2, 2√3/3, 2√(23/3)). 4. Найдем координаты точек M и K. M - середина SA, M = (S + A)/2 = (2, 2√3/3, 2√(23/3))/2 = (1, √3/3, √(23/3)). K - середина SB, K = (S + B)/2 = ( (2+4)/2, 2√3/3, 2√(23/3) )/2 = (3, √3/3, √(23/3)). 5. Уравнение прямой MK. Направляющий вектор MK = K - M = (3-1, √3/3 - √3/3, √(23/3) - √(23/3)) = (2, 0, 0). Т.к. y и z координаты одинаковы, то уравнение плоскости, проходящей через MK параллельно оси OX будет y = √3/3, z = √(23/3). 6. Расстояние от точки C до прямой MK. Т.к. MK параллельна оси OX, а точка C имеет координаты (2, 2√3, 0), то расстояние от C до MK будет равно расстоянию от C до точки на прямой MK с той же y и z координатами, как у M и K. 7. Проведем прямую из C перпендикулярно MK. Пусть P - точка пересечения этой прямой с MK. Тогда CP - искомое расстояние. Найдем уравнение прямой CP. Направляющий вектор CP = (x - 2, y - 2√3, z - 0) Вектор MK = (2, 0, 0). CP перпендикулярно MK, значит их скалярное произведение равно 0. 2*(x - 2) + 0*(y - 2√3) + 0*(z - 0) = 0 2x - 4 = 0 x = 2 Точка P имеет x = 2, y = √3/3, z = √(23/3) P = (2, √3/3, √(23/3)) 8. Расстояние CP = √((2-2)^2 + (2√3 - √3/3)^2 + (0 - √(23/3))^2) = √(0 + (5√3/3)^2 + (√(23/3))^2) = √(25*3/9 + 23/3) = √(25/3 + 23/3) = √(48/3) = √16 = 4. Ответ: 4