3. В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 3, а боковые ребра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AB и AC параллельно прямой MA.

1. Основные параметры пирамиды: Дана правильная треугольная пирамида MABC. Высота пирамиды MO = 3, где O - центр основания (правильный треугольник ABC). Боковые ребра MA = MB = MC = 6. Сечение проходит через середины сторон AB и AC, обозначим их K и L соответственно. Сечение также параллельно прямой MA. 2. Определение сечения: Так как сечение параллельно MA и проходит через точки K и L (середины AB и AC), то KL || BC. Значит, сечение – треугольник KLT, где T лежит на MB или MC, и KT || MA. Поскольку K и L - середины AB и AC, то KL - средняя линия треугольника ABC. Аналогично, KT - средняя линия треугольника ABM, а LT - средняя линия треугольника ACM. Следовательно, T - середина AM. 3. Свойства сечения: Треугольник KLT подобен треугольнику BAC с коэффициентом подобия 1/2, так как KL - средняя линия. Аналогично, треугольник KLT подобен треугольнику MAT с коэффициентом подобия 1/2. Значит, треугольник KLT - равносторонний, поскольку ABC - равносторонний. 4. Нахождение стороны основания ABC: Рассмотрим прямоугольный треугольник MOC. По теореме Пифагора: $OC = \sqrt{MC^2 - MO^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$. OC - это радиус описанной окружности вокруг треугольника ABC, то есть $R = 3\sqrt{3}$. Используем формулу $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, чтобы найти сторону $a$ треугольника ABC: $a = \frac{3R}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 9$. 5. Нахождение площади треугольника ABC: Площадь равностороннего треугольника ABC равна: $S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9^2\sqrt{3}}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$. 6. Нахождение площади сечения KLT: Поскольку треугольник KLT подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 1/2, то площадь KLT равна: $S_{KLT} = S_{ABC} \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{81\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{16}$. Ответ: Площадь сечения равна $\frac{81\sqrt{3}}{16}$.