2. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, радиус основания которого равен $4\sqrt{3}$, а высота равна 6.

Рассмотрим правильную треугольную призму, вписанную в цилиндр. 1. Основание призмы: Так как призма правильная треугольная, то в основании лежит равносторонний треугольник. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$, где $a$ - сторона треугольника. Отсюда, сторона основания призмы $a$ равна: $a = \frac{3R}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$. 2. Площадь боковой поверхности призмы: Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Периметр основания равен: $P = 3a = 3 \cdot 12 = 36$. Высота призмы равна высоте цилиндра, то есть $h = 6$. Площадь боковой поверхности призмы равна: $S_{бок} = P \cdot h = 36 \cdot 6 = 216$. Ответ: Площадь боковой поверхности призмы равна 216.