89. В основании правильной пирамиды лежит треугольник со стороной 2 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 30°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Давай решим эту задачу вместе. Сначала найдем площадь основания пирамиды. Так как в основании лежит правильный (равносторонний) треугольник, мы можем использовать формулу для площади равностороннего треугольника: $S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$, где $a$ - сторона треугольника. В нашем случае $a = 2$ см, поэтому: $S_{осн} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см$^2$. Теперь найдем площадь боковой поверхности. Поскольку пирамида правильная, все ее боковые грани - равные треугольники. Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 30°. Это означает, что высота боковой грани (апофема) образует с высотой, опущенной из центра основания на сторону, угол 30°. Представим, что апофема - это $l$, а высота, опущенная из центра основания на сторону - это $h$. Тогда $\tan(30°) = \frac{h}{l}$. В правильном треугольнике высота, опущенная из центра на сторону, равна половине радиуса вписанной окружности. Радиус вписанной окружности равен: $r = \frac{a \sqrt{3}}{6} = \frac{2 \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см. Таким образом, $h = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см. Подставим в уравнение для тангенса: $\tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3l}$. Так как $\tan(30°) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то: $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3l}$. Следовательно, $l = 1$ см. Площадь одной боковой грани равна: $S_{грани} = \frac{1}{2} a l = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1$ см$^2$. Так как у нас три боковые грани, то площадь боковой поверхности равна: $S_{бок} = 3 \cdot S_{грани} = 3 \cdot 1 = 3$ см$^2$. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \sqrt{3} + 3$ см$^2$. Итак, площадь полной поверхности пирамиды равна $3 + \sqrt{3}$ см$^2$.