90. Найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 8 см, а высота — 4 см.

Разберем эту задачу. Нам дана правильная четырехугольная пирамида, у которой боковое ребро равно 8 см, а высота равна 4 см. Нужно найти площадь боковой поверхности. 1. Найдем сторону основания: Основание пирамиды - квадрат. Пусть сторона основания равна $a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной стороны основания, высотой пирамиды и боковым ребром. По теореме Пифагора: $(\frac{a}{2})^2 + h^2 = b^2$, где $h$ - высота пирамиды, $b$ - боковое ребро. Подставим известные значения: $(\frac{a}{2})^2 + 4^2 = 8^2$ $(\frac{a}{2})^2 + 16 = 64$ $(\frac{a}{2})^2 = 48$ $\frac{a}{2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ $a = 8\sqrt{3}$ см. 2. Найдем апофему (высоту боковой грани): Апофема ($l$) - это высота боковой грани, опущенная из вершины пирамиды к стороне основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и высотой пирамиды, опущенной на сторону основания. Пусть расстояние от центра основания до середины стороны основания равно $d$. Тогда $d = \frac{a}{2} = 4\sqrt{3}$ см. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой ($l$), высотой пирамиды ($h$) и $d$. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + d^2$ $l^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2$ $l^2 = 16 + 16 \cdot 3$ $l^2 = 16 + 48$ $l^2 = 64$ $l = \sqrt{64} = 8$ см. 3. Найдем площадь одной боковой грани: Площадь боковой грани - это площадь треугольника, основание которого равно стороне основания пирамиды, а высота - апофема. $S_{грани} = \frac{1}{2} a l = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} \cdot 8 = 32\sqrt{3}$ см$^2$. 4. Найдем площадь боковой поверхности: Так как у нас правильная четырехугольная пирамида, то у нее 4 одинаковые боковые грани. Поэтому: $S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 32\sqrt{3} = 128\sqrt{3}$ см$^2$. Итак, площадь боковой поверхности пирамиды равна $128\sqrt{3}$ см$^2$.