6. В окружности с радиусом 6 см проведён диаметр и на нём отмечена точка А на расстоянии 3 см от центра. Найти радиус окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается первой окружности.

Пусть R - радиус большей окружности (R = 6 см), r - радиус меньшей окружности, O - центр большей окружности, O1 - центр меньшей окружности, A - точка касания меньшей окружности с диаметром большей окружности. Расстояние от центра большей окружности до точки А равно 3 см (OA = 3 см). Меньшая окружность касается большей изнутри, значит, расстояние между центрами этих окружностей равно разности их радиусов: OO1 = R - r. Так как меньшая окружность касается диаметра большей окружности в точке А, то O1A перпендикулярно диаметру, а значит O1A = r. Рассмотрим треугольник OO1A. Он прямоугольный, так как O1A перпендикулярно OA. По теореме Пифагора: OO1^2 = OA^2 + O1A^2 (R - r)^2 = OA^2 + r^2 (6 - r)^2 = 3^2 + r^2 36 - 12r + r^2 = 9 + r^2 36 - 12r = 9 12r = 36 - 9 12r = 27 r = 27/12 = 9/4 = 2.25 Ответ: Радиус окружности равен 2.25 см.