7*. В окружности радиуса 10 см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 5 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности.

Пусть O - центр большей окружности, O1 - центр меньшей окружности, а R и r - их радиусы соответственно. По условию, R = 10 см, OA = 5 см. Так как меньшая окружность касается большей изнутри и диаметра большей окружности в точке A, то O1 лежит на отрезке OA. OO1 = R - r, и OO1 = OA + AO1 = 5 + r. Тогда R - r = 5 + r. 10 - r = 5 + r. 2r = 5. r = 2.5 см. Ответ: Радиус второй окружности равен 2,5 см.