16. В окружность вписан равносторонний девятиугольник. Найдите величину угла ABC (см. рис. 255). Ответ дайте в градусах.

В равностороннем девятиугольнике все стороны равны, и все углы между сторонами равны. Девятиугольник вписан в окружность. 1. Найдем величину каждого угла правильного девятиугольника: Сумма внутренних углов многоугольника равна ((n-2) cdot 180^{\circ}), где (n) - количество сторон. Для девятиугольника это ((9-2) cdot 180^{\circ} = 7 cdot 180^{\circ} = 1260^{\circ}). Так как девятиугольник правильный, каждый его угол равен (\frac{1260^{\circ}}{9} = 140^{\circ}). 2. Рассмотрим вписанный угол (ABC). Так как девятиугольник вписан в окружность, вершины (A), (B) и (C) лежат на окружности. 3. Угол (ABC) опирается на дугу (AC). На этой дуге находятся две стороны девятиугольника. Следовательно, центральный угол, опирающийся на эту дугу, соответствует двум углам девятиугольника. То есть, (\angle AOC = 2 \cdot (\frac{360^{\circ}}{9}) = 2 \cdot 40^{\circ} = 80^{\circ}\) для центрального угла, соответствующего одной стороне девятиугольника. Значит центральный угол, опирающийся на дугу AC соответствует двум сторонам, (\angle AOC = 2\cdot 40^{\circ} \cdot 2 = 160^{\circ}\). Именно поэтому вписанный угол (ABC) равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, но в другую сторону (ABC = \frac{360^{\circ} - 80^{\circ}}{2} = \frac{280^{\circ}}{2} = 140^{\circ}\). 4. Так как угол в правильном девятиугольнике равен 140 градусам, угол ABC равен 140 градусам. Ответ: Угол ABC равен 140 градусов.