Тип 17 № 694 Задумано двузначное число, которое делится на 5. К нему справа приписали это же число еще раз. Оказалось, что получившееся четырехзначное число делится на 11. Какое число задумали?

Пусть задуманное двузначное число равно $10a + b$, где $a$ и $b$ – цифры. Так как это число делится на 5, то $b = 0$ или $b = 5$. После приписывания этого числа к самому себе, получается четырехзначное число $100(10a + b) + (10a + b) = 1010a + 101b = 101(10a + b)$. Из условия известно, что полученное четырехзначное число делится на 11. Значит, $101(10a + b)$ делится на 11. Число 101 на 11 не делится, следовательно, $10a + b$ должно делиться на 11. Поскольку $10a + b$ – двузначное число, делящееся на 11, то $10a + b$ может быть равно 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 или 99. Так как $10a + b$ должно делиться на 5, то единственная возможность – это число 55. Проверим: при приписывании 55 к самому себе получаем 5555. Разделим 5555 на 11: $5555 / 11 = 505$. Значит, 5555 делится на 11. Ответ: 55