10. Тип 10 № 7450 Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а тангенс угла между ней и одним из оснований равен $\frac{\sqrt{2}}{4}$. Найдите площадь трапеции.

Обозначим основания трапеции как $a = 18$ и $b = 12$. Боковая сторона $c = 6$. Тангенс угла между боковой стороной и основанием равен $\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{4}$. Найдём высоту трапеции $h$. Мы знаем, что $\tan(\alpha) = \frac{h}{x}$, где $x$ - проекция боковой стороны на большее основание. Тогда $h = x \cdot \tan(\alpha)$. Также мы знаем, что $a = b + x$, следовательно, $x = a - b = 18 - 12 = 6$. Теперь можем найти высоту: $h = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$. Подставляем значения: $S = \frac{18 + 12}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{30}{2} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = 15 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{45\sqrt{2}}{2}$. Ответ: $\frac{45\sqrt{2}}{2}$