\[Пусть\ x - некоторое\ число,\ \]
\[тогда\ \frac{1}{x} - обратное\ ему\ число.\]
\[x + \frac{1}{x} - сумма\ этих\ чисел;\]
\[x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - сумма\ квадратов\ \]
\[этих\ чисел,\ которая\ в\ 1,7\ раз\ \]
\[больше\ суммы\ чисел.\]
\[Составим\ уравнение:\]
\[1,7 \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}\]
\[1,7 \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) =\]
\[= \left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 - 2 \right)\]
\[1,7 \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) = \left( x + \frac{1}{x} \right)^{2} - 2\]
\[Пусть\ \left( x + \frac{1}{x} \right) = a:\]
\[1,7a = a^{2} - 2\]
\[a^{2} - 1,7a - 2 = 0\ \ \ \ \ \ | \cdot 10\]
\[10a^{2} - 17a - 20 = 0\]
\[D = 289 + 800 = 1089\]
\[a_{1} = \frac{17 + 33}{20} = \frac{50}{20} = 2,5;\ \ \ \ \]
\[a_{2} = \frac{17 - 33}{20} = - \frac{16}{20} = - 0,8.\]
\[Подставим:\]
\[1)\ x + \frac{1}{x} = 2,5\ \ \ \ \ | \cdot 2x\]
\[2x^{2} + 2 - 5x = 0\]
\[2x^{2} - 5x + 2 = 0\]
\[D = 25 - 16 = 9\]
\[x_{1} = \frac{5 + 3}{4} = 2;\ \ \ \]
\[\ x_{2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0,5.\]
\[2)\ x + \frac{1}{x} = - 0,8\ \ \ \ \ \ | \cdot 5x\]
\[5x^{2} + 5 + 4x = 0\]
\[5x^{2} + 4x + 5 = 0\]
\[D = 16 - 100 = - 84 < 0\]
\[нет\ корней.\]
\[Ответ:x = 0,5;\ \ x = 2.\]