Сумма кубов двух натуральных чисел равна 1547. Найдите эти числа, если их сумма равна 17.

\[Пусть\ a - первое\ натуральное\ \]

\[число,\ тогда\ b - второе\ \]

\[натуральное\ число.\ По\ \]

\[условию\ задачи,\ сумма\ кубов\ \]

\[равна\ 1547,\ \]

\[а\ \ \ a + b = 17.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[a^{3} + b^{3} = 1547\]

\[\left\{ \begin{matrix} (a + b)\left( a^{2} - ab + b^{2} \right) = 1547 \\ a + b = 17\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} 3b² - 51b + 289 = 91 \\ a = 17 - b\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[3b² - 51b + 198 = 0\ \ \ \ \ \ |\ :3\]

\[b^{2} - 17b + 66 = 0\]

\[b_{1} + b_{2} = 17\]

\[b_{1} \cdot b_{2} = 66 \Longrightarrow b_{1} = 11;\ \ \ b_{2} = 6\]

\[1)\ 17 - 11 = 6\]

\[2)\ 17 - 6 = 11\]

\[Ответ:натуральные\ числа\ 6\ и\ \]

\[11.\]