Сократить дробь \(\frac{2y^2 + 9y - 5}{4y^2 - 1}\).

Для сокращения дроби \(\frac{2y^2 + 9y - 5}{4y^2 - 1}\) необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и найти общие множители. **Разложение числителя:** Числитель представляет собой квадратный трехчлен \(2y^2 + 9y - 5\). Разложим его на множители. Для этого найдем корни уравнения \(2y^2 + 9y - 5 = 0\). Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 2\), \(b = 9\), \(c = -5\). \(D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4(2)(-5) = 81 + 40 = 121\) \(y_1 = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2(2)} = \frac{-9 + 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) \(y_2 = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2(2)} = \frac{-9 - 11}{4} = \frac{-20}{4} = -5\) Следовательно, \(2y^2 + 9y - 5 = 2(y - \frac{1}{2})(y + 5) = (2y - 1)(y + 5)\) **Разложение знаменателя:** Знаменатель представляет собой разность квадратов \(4y^2 - 1 = (2y)^2 - 1^2\). Разложим его на множители, используя формулу разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\). В данном случае \(a = 2y\), \(b = 1\), поэтому: \(4y^2 - 1 = (2y - 1)(2y + 1)\) **Сокращение дроби:** Теперь, когда числитель и знаменатель разложены на множители, можно сократить дробь: \(\frac{2y^2 + 9y - 5}{4y^2 - 1} = \frac{(2y - 1)(y + 5)}{(2y - 1)(2y + 1)}\) Сокращаем общий множитель \((2y - 1)\): \(\frac{(2y - 1)(y + 5)}{(2y - 1)(2y + 1)} = \frac{y + 5}{2y + 1}\) **Ответ:** \(\frac{y + 5}{2y + 1}\)