Решить систему уравнений методом алгебраического сложения / вычитания: 1) \begin{cases} 2x - 3y = 14 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases} 2) \begin{cases} 5x + y = 7 \\ y - 8x = -6 \end{cases} 3) \begin{cases} 4x - y = -19 \\ 3y - 4x = 33 \end{cases} 4) \begin{cases} 5y + 2 = 3x \\ 3x - y = -2 \end{cases} 5) \begin{cases} 7x - 3 = 5y \\ 2y - 14x = -46 \end{cases} 6) \begin{cases} x^2 - y^2 = 7 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} 7) \begin{cases} 2y^2 = x^2 + 17 \\ x^2 - 7y^2 = -62 \end{cases} 8) \begin{cases} x^2 - 2y = 13 \\ x^2 + y^2 + 2y = 9 \end{cases}

Решение системы уравнений методом алгебраического сложения/вычитания подразумевает умножение одного или обоих уравнений на число так, чтобы при сложении или вычитании уравнений одна из переменных сократилась. 1) \begin{cases} 2x - 3y = 14 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases} Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3: \begin{cases} 4x - 6y = 28 \\ 9x + 6y = 24 \end{cases} Сложим уравнения: 13x = 52 x = 4 Подставим x = 4 в первое уравнение: 2(4) - 3y = 14 8 - 3y = 14 -3y = 6 y = -2 Ответ: x = 4, y = -2 2) \begin{cases} 5x + y = 7 \\ y - 8x = -6 \end{cases} Вычтем из первого уравнения второе: 5x + y - (y - 8x) = 7 - (-6) 5x + y - y + 8x = 13 13x = 13 x = 1 Подставим x = 1 в первое уравнение: 5(1) + y = 7 5 + y = 7 y = 2 Ответ: x = 1, y = 2 3) \begin{cases} 4x - y = -19 \\ 3y - 4x = 33 \end{cases} Сложим уравнения: 4x - y + 3y - 4x = -19 + 33 2y = 14 y = 7 Подставим y = 7 в первое уравнение: 4x - 7 = -19 4x = -12 x = -3 Ответ: x = -3, y = 7 4) \begin{cases} 5y + 2 = 3x \\ 3x - y = -2 \end{cases} Вычтем из второго уравнения первое: 3x - y - (5y + 2) = -2 - 0 3x - y - 5y - 2 = -2 3x - 6y = 0 Разделим на 3: x - 2y = 0 Выразим x: x = 2y Подставим в первое уравнение: 5y + 2 = 3(2y) 5y + 2 = 6y y = 2 Тогда x = 2(2) = 4 Ответ: x = 4, y = 2 5) \begin{cases} 7x - 3 = 5y \\ 2y - 14x = -46 \end{cases} Умножим первое уравнение на 2, а второе на 5/7 (то есть разделим на 14 и умножим на 5): \begin{cases} 14x - 6 = 10y \\ 10y - 70x = -230 \end{cases} Тогда \begin{cases} 14x - 10y = 6 \\ -14x + (10/7)*5 y= -46 \end{cases} \begin{cases} 14x - 10y = 6 \\ -14x + 10y = -46 \end{cases} Сложим уравнения: 0=-40. Очевидно, система не имеет решения Ответ: решений нет 6) \begin{cases} x^2 - y^2 = 7 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} Сложим уравнения: 2x^2 = 32 x^2 = 16 x = \pm 4 Подставим x^2 = 16 во второе уравнение: 16 + y^2 = 25 y^2 = 9 y = \pm 3 Ответ: (4, 3), (4, -3), (-4, 3), (-4, -3) 7) \begin{cases} 2y^2 = x^2 + 17 \\ x^2 - 7y^2 = -62 \end{cases} Выразим x^2 из первого уравнения: x^2 = 2y^2 - 17 Подставим во второе уравнение: 2y^2 - 17 - 7y^2 = -62 -5y^2 = -45 y^2 = 9 y = \pm 3 Тогда x^2 = 2(9) - 17 = 18 - 17 = 1 x = \pm 1 Ответ: (1, 3), (1, -3), (-1, 3), (-1, -3) 8) \begin{cases} x^2 - 2y = 13 \\ x^2 + y^2 + 2y = 9 \end{cases} Вычтем из второго уравнения первое: x^2 + y^2 + 2y - (x^2 - 2y) = 9 - 13 y^2 + 4y = -4 y^2 + 4y + 4 = 0 (y + 2)^2 = 0 y = -2 Подставим y = -2 в первое уравнение: x^2 - 2(-2) = 13 x^2 + 4 = 13 x^2 = 9 x = \pm 3 Ответ: (3, -2), (-3, -2)