Разность кубов двух натуральных чисел равна 1603. Найдите эти числа, если их разность равна 7.

\[Пусть\ x - первое\ натуральное\ \]

\[число,\ тогда\ (x + 7) - второе\ \]

\[натуральное\ число.\ \]

\[По\ условию\ задачи,\ разность\ \]

\[кубов\ этих\ чисел\ равна\ 1603.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[(x + 7)^{3} - x^{3} = 1603\]

\[3x^{2} + 21x + 49 = 229\]

\[3x² + 21x - 180 = 0\ \ \ |\ :3\]

\[x^{2} + 7x - 60 = 0\]

\[D = b^{2} - 4ac =\]

\[= 49 - 4 \cdot 1 \cdot ( - 60) =\]

\[= 49 + 240 = 289\]

\[x_{1} = \frac{- 7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5 -\]

\[первое\ натуральное\ число.\]

\[x_{2} = \frac{- 7 - 17}{2} = - \frac{24}{2} =\]

\[= - 12 \notin N.\]

\[1)\ 5 + 7 = 12 - второе\ \]

\[натуральное\ число.\]

\[Ответ:числа\ 12\ и\ 5.\]