57. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC = 36, MN = 27. Площадь треугольника ABC равна 96. Найдите площадь треугольника MBN.

Поскольку MN параллельна AC, треугольники ABC и MBN подобны. Значит, коэффициент подобия k = $\frac{MN}{AC} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, $\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$. Зная, что S_{ABC} = 96, найдем S_{MBN}: $$S_{MBN} = \frac{9}{16} \cdot 96 = \frac{9 \cdot 96}{16} = 9 \cdot 6 = 54$$. Ответ: Площадь треугольника MBN равна 54.