ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 1) Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC = 15, MN = 10. Площадь треугольника ABC равна 27. Найдите площадь треугольника MBN. 2) Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC = 24, MN = 15. Площадь треугольника ABC равна 128. Найдите площадь треугольника MBN. 3) На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 3, DC = 4. Площадь треугольника ABC равна 28. Найдите площадь треугольника ABD. 4) На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD = 4, DC=5. Площадь треугольника ABC равна 36. Найдите площадь треугольника BCD. 5) В треугольнике ABC известно, что AB = 15, BC = 8, sin \angle ABC = \frac{5}{6}. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение: 1) Так как MN || AC, то треугольники MBN и ABC подобны. Коэффициент подобия k = MN/AC = 10/15 = 2/3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть S(MBN) / S(ABC) = k^2 = (2/3)^2 = 4/9. Тогда S(MBN) = (4/9) * S(ABC) = (4/9) * 27 = 12. 2) Так как MN || AC, то треугольники MBN и ABC подобны. Коэффициент подобия k = MN/AC = 15/24 = 5/8. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то есть S(MBN) / S(ABC) = k^2 = (5/8)^2 = 25/64. Тогда S(MBN) = (25/64) * S(ABC) = (25/64) * 128 = 50. 3) Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABD и BCD. AC = AD + DC = 3 + 4 = 7. Отношение площадей треугольников ABD и ABC равно отношению длин их оснований AD и AC, то есть S(ABD) / S(ABC) = AD / AC = 3/7. Тогда S(ABD) = (3/7) * S(ABC) = (3/7) * 28 = 12. 4) Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABD и BCD. AC = AD + DC = 4 + 5 = 9. Отношение площадей треугольников BCD и ABC равно отношению длин их оснований DC и AC, то есть S(BCD) / S(ABC) = DC / AC = 5/9. Тогда S(BCD) = (5/9) * S(ABC) = (5/9) * 36 = 20. 5) Площадь треугольника ABC можно найти по формуле S = (1/2) * AB * BC * sin(∠ABC) = (1/2) * 15 * 8 * (5/6) = (1/2) * 120 * (5/6) = 60 * (5/6) = 50. Ответы: 1) **12** 2) **50** 3) **12** 4) **20** 5) **50**