17) Представьте в виде натурального числа значение числового выражения \(\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{5}-1} - \frac{25\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}\).

Решение: 1. Сначала упростим выражение, объединив дроби с общим знаменателем: \(\frac{\sqrt{100} - 25\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1} = \frac{10 - 25\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}\) 2. Теперь вынесем 5 за скобки в числителе: \(\frac{5(2 - 5\sqrt{5})}{\sqrt{5}-1}\) 3. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на \(\sqrt{5}+1\): \(\frac{5(2 - 5\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{5(2\sqrt{5} + 2 - 25 - 5\sqrt{5})}{5-1} = \frac{5(-3\sqrt{5} - 23)}{4}\) 4. Раскроем скобки: \(\frac{-15\sqrt{5} - 115}{4}\) Ошибка в условии или в моих вычислениях. Попробуем другой подход, домножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}+1\) сразу в первом выражении: \(\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{5}-1} - \frac{25\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1} = \frac{10(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} - \frac{25\sqrt{5}(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{10\sqrt{5}+10}{4} - \frac{25*5 + 25\sqrt{5}}{4} = \frac{10\sqrt{5}+10 - 125 - 25\sqrt{5}}{4} = \frac{-15\sqrt{5} - 115}{4}\) В ответе должно получиться натуральное число, следовательно, нужно проверить условие. Допустим, вместо \(\sqrt{5}-1\) стоит \(\sqrt{5}+1\). Тогда решение будет таким: \(\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{5}+1} + \frac{25\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1} = \frac{10 + 25\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1} = \frac{(10 + 25\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1)} = \frac{10\sqrt{5} - 10 + 125 - 25\sqrt{5}}{4} = \frac{-15\sqrt{5} + 115}{4}\) Если же в условии было \(\frac{\sqrt{100} - 25 \sqrt{5}}{\sqrt{5} + 1}\), то: \(\frac{10 - 25\sqrt{5}}{\sqrt{5} + 1} = \frac{(10 - 25\sqrt{5})(\sqrt{5} - 1)}{5-1} = \frac{10\sqrt{5} - 10 - 125 + 25\sqrt{5}}{4} = \frac{35\sqrt{5} - 135}{4}\) Предположим, что в условии должно быть \(\frac{\sqrt{100} + 25\sqrt{5}}{\sqrt{5} + 1}\). Тогда: \(\frac{10 + 25\sqrt{5}}{\sqrt{5} + 1} = \frac{(10 + 25\sqrt{5})(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{10\sqrt{5} - 10 + 125 - 25\sqrt{5}}{5 - 1} = \frac{-15\sqrt{5} + 115}{4}\) Вероятно, в задании опечатка. Ответ: В задании, скорее всего, опечатка. Без исправления условия невозможно получить натуральное число.