18) Биссектрисы углов \(A\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(M\), лежащей на стороне \(BC\). Найдите периметр параллелограмма \(ABCD\), если \(AB = 9\).

Решение: 1. Обозначим углы: \(\angle BAM = \angle MAD = \alpha\) и \(\angle ADM = \angle MDC = \beta\), так как \(AM\) и \(DM\) - биссектрисы углов \(A\) и \(D\) соответственно. 2. Так как \(AD \parallel BC\), то \(\angle MAD = \angle BMA = \alpha\) как внутренние накрест лежащие углы. Следовательно, треугольник \(ABM\) равнобедренный, и \(AB = BM = 9\). 3. Аналогично, так как \(AD \parallel BC\), то \(\angle MDC = \angle CMD = \beta\) как внутренние накрест лежащие углы. Следовательно, треугольник \(CDM\) равнобедренный, и \(CD = CM\). 4. В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть \(AB = CD = 9\). Значит, \(CM = 9\). 5. Сторона \(BC = BM + MC = 9 + 9 = 18\). 6. В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть \(AD = BC = 18\). 7. Периметр параллелограмма \(P = 2(AB + BC) = 2(9 + 18) = 2(27) = 54\). Ответ: 54