13. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 54 минуты, второй и третий – за 27 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Обозначим время, за которое первый, второй и третий насосы заполняют бассейн, как $t_1$, $t_2$ и $t_3$ соответственно. Тогда: Первый и второй насосы вместе заполняют бассейн за 54 минуты, значит их совместная производительность равна $\frac{1}{54}$ бассейна в минуту. Второй и третий насосы вместе заполняют бассейн за 27 минут, значит их совместная производительность равна $\frac{1}{27}$ бассейна в минуту. Найдем совместную производительность всех трех насосов. Обозначим $V$ - объем бассейна. Пусть $x_1 = \frac{V}{t_1}$, $x_2 = \frac{V}{t_2}$ и $x_3 = \frac{V}{t_3}$ - производительности первого, второго и третьего насосов соответственно. Тогда: $\begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{1}{54} \\ x_2 + x_3 = \frac{1}{27} \end{cases}$ Сложим эти два уравнения: $x_1 + 2x_2 + x_3 = \frac{1}{54} + \frac{1}{27} = \frac{1}{54} + \frac{2}{54} = \frac{3}{54} = \frac{1}{18}$ Также, чтобы найти совместное время работы трех насосов, нужно найти их совместную производительность. Используем, что первый, второй и третий насосы, работая вместе, заполняют бассейн за время $t$. Тогда $x_1 + x_2 + x_3 = \frac{1}{t}$. Умножим первое уравнение на 2: $2x_1 + 2x_2 = \frac{2}{54} = \frac{1}{27}$. Выразим $x_2$ из первого уравнения: $x_2 = \frac{1}{54} - x_1$. Подставим во второе: $\frac{1}{54} - x_1 + x_3 = \frac{1}{27}$, откуда $x_3 - x_1 = \frac{1}{27} - \frac{1}{54} = \frac{1}{54}$, значит $x_3 = x_1 + \frac{1}{54}$. Выразим $x_1 + x_2 + x_3$. $x_1 + x_2 + x_3 = x_1 + (\frac{1}{54} - x_1) + (x_1 + \frac{1}{54}) = x_1 + \frac{2}{54} = x_1 + \frac{1}{27}$. Но $x_1 + x_2 = \frac{1}{54}$, значит $x_1 = \frac{1}{54} - x_2$. Найдем $x_1 + x_2 + x_3 = (x_1 + x_2) + (x_2 + x_3) - x_2 = \frac{1}{54} + \frac{1}{27} - x_2$. Выразим $x_2$ из уравнения $x_2 + x_3 = \frac{1}{27}$, тогда $x_2 = \frac{1}{27} - x_3$. $x_1 + x_2 + x_3 = (x_1 + x_2) + x_3 = \frac{1}{54} + x_3$. $x_1 + x_2 + x_3 = x_1 + (x_2 + x_3) = x_1 + \frac{1}{27}$. $x_1 + x_2 + x_3 = (x_1 + x_2 + x_3) = \frac{\frac{1}{54} + \frac{1}{27}}{2} = \frac{\frac{1}{18}}{2} = \frac{1}{36}$ Значит, все три насоса, работая вместе, заполнят бассейн за 36 минут. Ответ: 36 минут.