3) Основание прямого параллелепипеда – ромб с диагоналями 10 и 24 см. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

3) Решение: * Найдем сторону ромба, лежащего в основании. Так как диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то сторона ромба равна: \[a = \sqrt{\left(\frac{10}{2}\right)^2 + \left(\frac{24}{2}\right)^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \,\text{см}\] * Найдем высоту параллелепипеда. Меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°, значит, высота равна этой диагонали: \[h = 10 \cdot \sin{45°} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \,\text{см}\] * Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна: \[S_{бок} = P \cdot h = 4 \cdot 13 \cdot 5\sqrt{2} = 260\sqrt{2} \,\text{см}^2\] * Площадь основания параллелепипеда равна: \[S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 \,\text{см}^2\] * Площадь полной поверхности параллелепипеда равна: \[S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 260\sqrt{2} + 2 \cdot 120 = 260\sqrt{2} + 240 \,\text{см}^2\] Ответ: \(260\sqrt{2} + 240\) см²