11. Окружность с радиусом 4, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, касается её боковой стороны CD в точке E. Найдите площадь трапеции, если известно, что DE = 8, AD - большее основание.

Дано: Окружность радиуса r = 4, вписанная в равнобедренную трапецию ABCD, DE = 8, AD - большее основание. Найти: Площадь трапеции ABCD. Решение: 1. Так как в трапецию вписана окружность, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон. (AD + BC = AB + CD) Трапеция равнобедренная, следовательно, (AB = CD). (AD + BC = 2CD) 2. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности: (h = 2r = 2 * 4 = 8) 3. Проведем высоту (CF) из вершины (C) к основанию (AD). Рассмотрим прямоугольный треугольник (CFD). (FD = DE = 8) (так как в равнобедренной трапеции высоты, проведенные из вершин меньшего основания, отсекают от большего основания равные отрезки). 4. По теореме Пифагора, найдём (CD): (CD^2 = CF^2 + FD^2) (CD^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128) (CD = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}) 5. Теперь мы знаем, что (AD + BC = 2CD = 2 * 8\sqrt{2} = 16\sqrt{2}). 6. Найдем полусумму оснований трапеции: (\frac{AD + BC}{2} = \frac{16\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}) 7. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: (S = \frac{AD + BC}{2} * h = 8\sqrt{2} * 8 = 64\sqrt{2}) Ответ: Площадь трапеции равна (64\sqrt{2}).