11. Окружность с радиусом 3, вписанная в равнобедренную трапецию \(ABCD\), касается её боковой стороны \(AB\) в точке \(E\). Найдите площадь трапеции, если известно, что \(BE = 2\), а \(BC\) - меньшее основание трапеции.

Пусть \(O\) - центр окружности, \(r = 3\) - радиус окружности, вписанной в трапецию \(ABCD\). Пусть \(BC\) - меньшее основание, \(AD\) - большее основание, и \(AB = CD\) - боковые стороны. Так как в трапецию вписана окружность, то \(AB + CD = BC + AD\). Поскольку трапеция равнобедренная, то \(2AB = BC + AD\). Пусть \(AE = x\). Тогда \(AB = AE + BE = x + 2\). Так как трапеция описана около окружности, то высота трапеции равна диаметру окружности, то есть \(2r = 6\). Проведем высоту \(BH\) из вершины \(B\) к основанию \(AD\). Тогда \(AH = \frac{AD - BC}{2}\). Так как \(AB + CD = BC + AD\), то \(2AB = BC + AD\), следовательно \(AD - BC = 2AB - 2BC = 2(AB - BC)\). Поэтому \(AH = AB - BC\). В прямоугольном треугольнике \(ABH\): \(AB^2 = BH^2 + AH^2\). \((x + 2)^2 = 6^2 + (AB - BC)^2\). Так как касательные из одной точки к окружности равны, то \(BE = BK = 2\) и \(AE = AL = x\), где \(K\) и \(L\) - точки касания окружности с боковой стороной и основанием трапеции соответственно. Тогда \(BC = BK + CL\). Следовательно, \(BC = 2\). Тогда \((x + 2)^2 = 36 + (x + 2 - 2)^2 = 36 + x^2\). \(x^2 + 4x + 4 = 36 + x^2\). \(4x = 32\). \(x = 8\). Тогда \(AB = x + 2 = 8 + 2 = 10\). \(2AB = BC + AD\), следовательно, \(2 \cdot 10 = 2 + AD\), откуда \(AD = 20 - 2 = 18\). Площадь трапеции равна \(S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{2 + 18}{2} \cdot 6 = \frac{20}{2} \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60\). **Ответ: 60**