5. Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если $b_4 = 9$ и $b_6 = 36$.

Дано: $b_4 = 9$, $b_6 = 36$. Необходимо найти $S_5$. Найдем $q^2$, используя формулу $b_6 = b_4 \cdot q^2$: $q^2 = \frac{b_6}{b_4} = \frac{36}{9} = 4$ Значит, $q = \pm 2$ Сначала найдем $b_1$. Из формулы $b_4 = b_1 \cdot q^3$ следует, что $b_1 = \frac{b_4}{q^3}$ Если $q = 2$, то $b_1 = \frac{9}{2^3} = \frac{9}{8}$ Если $q = -2$, то $b_1 = \frac{9}{(-2)^3} = \frac{9}{-8} = -\frac{9}{8}$ Теперь найдем $S_5$ для обоих случаев: Если $q = 2$, то $S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{\frac{9}{8}(1 - 2^5)}{1 - 2} = \frac{\frac{9}{8}(1 - 32)}{-1} = -\frac{9}{8}(-31) = \frac{279}{8} = 34.875$ Если $q = -2$, то $S_5 = \frac{b_1(1 - q^5)}{1 - q} = \frac{-\frac{9}{8}(1 - (-2)^5)}{1 - (-2)} = \frac{-\frac{9}{8}(1 - (-32))}{3} = \frac{-\frac{9}{8}(33)}{3} = -\frac{3}{8}(33) = -\frac{99}{8} = -12.375$ Ответ: Если $q = 2$, то $S_5 = \frac{279}{8} = 34.875$. Если $q = -2$, то $S_5 = -\frac{99}{8} = -12.375$.