1. Найти частные производные второго порядка от функции: a) $z = 2^{xy}$, $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = ?$ б) $z = \frac{\sqrt{x}}{2 \cos y}$

a) $z = 2^{xy}$ Сначала найдем первую частную производную по x: $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2^{xy}) = 2^{xy} \ln(2) \cdot y = y \ln(2) 2^{xy}$ Теперь найдем вторую частную производную, взяв производную по y от первой частной производной по x: $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (y \ln(2) 2^{xy}) = \ln(2) \frac{\partial}{\partial y} (y 2^{xy})$ Используем правило произведения: $\frac{\partial}{\partial y} (y 2^{xy}) = 1 \cdot 2^{xy} + y \cdot 2^{xy} \ln(2) \cdot x = 2^{xy} + xy \ln(2) 2^{xy}$ Таким образом, $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \ln(2) (2^{xy} + xy \ln(2) 2^{xy}) = \ln(2) 2^{xy} (1 + xy \ln(2))$ **Ответ: $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \ln(2) 2^{xy} (1 + xy \ln(2))$** б) $z = \frac{\sqrt{x}}{2 \cos y}$ Сначала найдем первую частную производную по x: $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\sqrt{x}}{2 \cos y} \right) = \frac{1}{2 \cos y} \frac{\partial}{\partial x} (\sqrt{x}) = \frac{1}{2 \cos y} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{4 \sqrt{x} \cos y}$ Теперь найдем вторую частную производную, взяв производную по y от первой частной производной по x: $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{4 \sqrt{x} \cos y} \right) = \frac{1}{4 \sqrt{x}} \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{\cos y})$ Так как $\frac{1}{\cos y} = \sec y$, то $\frac{\partial}{\partial y} (\sec y) = \sec y \tan y = \frac{\sin y}{\cos^2 y}$ Таким образом, $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{1}{4 \sqrt{x}} \cdot \frac{\sin y}{\cos^2 y} = \frac{\sin y}{4 \sqrt{x} \cos^2 y}$ **Ответ: $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\sin y}{4 \sqrt{x} \cos^2 y}$**