Найдите значение выражения: $2\sqrt{1-2\sqrt{6}+6}$

Для начала упростим выражение под корнем: $1 - 2\sqrt{6} + 6 = 7 - 2\sqrt{6}$ Теперь попробуем представить это выражение в виде квадрата разности. Вспомним формулу: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Нам нужно, чтобы $2ab = 2\sqrt{6}$, то есть $ab = \sqrt{6}$. Можно предположить, что $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{3}$ или наоборот. Проверим: $(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{2})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 2 - 2\sqrt{6} + 3 = 5 - 2\sqrt{6}$. Это не совсем то, что нам нужно. Попробуем $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{3})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}$. Здесь тоже не получается. Значит, наша изначальная цель - найти $7 - 2\sqrt{6}$, нужно немного поменять $a$ и $b$. Попробуем $a = \sqrt{6}$ и $b = 1$ или $a = 1$ и $b = \sqrt{6}$. $(\sqrt{6} - 1)^2 = (\sqrt{6})^2 - 2(\sqrt{6})(1) + (1)^2 = 6 - 2\sqrt{6} + 1 = 7 - 2\sqrt{6}$. Итак, мы нашли, что $7 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{6} - 1)^2$. Теперь вернемся к исходному выражению: $2\sqrt{1 - 2\sqrt{6} + 6} = 2\sqrt{7 - 2\sqrt{6}} = 2\sqrt{(\sqrt{6} - 1)^2}$. Поскольку $\sqrt{6} > 1$, то $\sqrt{(\sqrt{6} - 1)^2} = |\sqrt{6} - 1| = \sqrt{6} - 1$. Тогда: $2(\sqrt{6} - 1) = 2\sqrt{6} - 2$. Ответ: $2\sqrt{6} - 2$