5. Найдите углы при основании MP равнобедренного треугольника MOP, если MK – его биссектриса и угол OKM = 96°.

Давай решим эту задачу по шагам. 1. Так как треугольник MOP равнобедренный, MO = OP. Следовательно, углы при основании MP равны: $\angle OMP = \angle OPM$. 2. MK - биссектриса угла OMP, значит, $\angle OMK = \angle KMP$. 3. Угол OKM = 96°. Рассмотрим треугольник OKM. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому: $\angle MOK + \angle OKM + \angle KMO = 180°$ $\angle MOK + 96° + \angle KMO = 180°$ 4. Выразим $\angle KMO$: $\angle KMO = 180° - 96° - \angle MOK = 84° - \angle MOK$ 5. Так как $\angle OMK = \angle KMP$, то $\angle OMP = 2 \cdot \angle KMO = 2 \cdot (84° - \angle MOK)$. 6. В равнобедренном треугольнике MOP, $\angle OMP = \angle OPM$. Обозначим эти углы как x. 7. Сумма углов в треугольнике MOP равна 180°: $\angle MOP + \angle OMP + \angle OPM = 180°$ $\angle MOP + x + x = 180°$ $\angle MOP + 2x = 180°$ 8. Мы знаем, что $\angle OMP = x = 2 \cdot (84° - \angle MOK)$, и $\angle OMK + \angle MOK = 180^{\circ}$. 9. Рассмотрим треугольник MOK: $\angle MOK + \angle OKM + \angle OMK = 180°$ $\angle MOK + 96° + (84° - \angle MOK) = 180°$ Это уравнение не имеет смысла. 10. По условию, MK – биссектриса, значит, $\angle OMK = \angle KMP$. Пусть $\angle OMP = \angle OPM = x$. Тогда $\angle OMK = x/2$. 11. Рассмотрим треугольник OKM: $\angle MOK + \angle OKM + \angle OMK = 180°$ $\angle MOK + 96° + x/2 = 180°$ $\angle MOK = 180° - 96° - x/2 = 84° - x/2$ 12. Рассмотрим треугольник MOP: $\angle MOP + \angle OMP + \angle OPM = 180°$ $\angle MOP + x + x = 180°$ $\angle MOP = 180° - 2x$ 13. Угол $\angle MOK$ и $\angle MOP$ - это один и тот же угол $\angle MOP$, значит: $\angle MOP = 84 - x/2 = 180 - 2x$ 14. Решим уравнение относительно x: $2x - x/2 = 180 - 84$ $3x/2 = 96$ $x = 96 \cdot 2 / 3 = 64$ 15. Итак, $\angle OMP = \angle OPM = 64°$. Ответ: Углы при основании MP равны 64°.