Найдите три последовательных нечетных натуральных числа, если квадрат третьего из них на 24 меньше утроенного произведения первого и второго чисел.

Ответ:

\[Пусть\ 2n - 1,\ 2n + 1,\ \]

\[2n + 3 - три\ \]

\[последовательных\ нечетных\ \]

\[натуральных\ числа.\]

\[Составим\ уравнение:\ \]

\[(2n + 3)^{2} + 24 =\]

\[= 3 \cdot (2n - 1)(2n + 1)\]

\[4n^{2} + 12n + 9 + 24 =\]

\[= 3 \cdot \left( 4n^{2} - 1 \right)\]

\[4n^{2} + 12n + 33 = 12n^{2} - 3\]

\[12n^{2} - 3 - 4n^{2} - 12n - 33 = 0\]

\[8n² - 12n - 36 = 0\ \ |\ :4\]

\[2n^{2} - 3n - 9 = 0\]

\[D = ( - 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot ( - 9) =\]

\[= 9 + 72 = 81\]

\[n_{1} = \frac{3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 9}{4} = \frac{12}{4} = 3.\]

\[n_{2} = \frac{3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 9}{4} = - \frac{6}{4} =\]

\[= - \frac{3}{2}\ (не\ подходит).\]

\[2n - 1 = 2 \cdot 3 - 1 =\]

\[= 6 - 1 = 5 - первое\ число.\]

\[2n + 1 = 2 \cdot 3 + 1 =\]

\[= 6 + 1 = 7 - второе\ число.\]

\[2n + 3 = 2 \cdot 3 + 3 =\]

\[= 6 + 3 = 9 - третье\ число.\]

\[Ответ:5;7;9.\]