Сколько сторон имеет многоугольник, если в нём можно провести 35 диагоналей?

\[Формула\ для\ вычисления\ \]

\[количества\ диагоналей\ \]

\[n - угольника:\]

\[N = \frac{n(n - 3)}{2};\]

\[N - количество\ диагоналей,\ \]

\[n - количество\ вершин\]

\[(равное\ количеству\ сторон).\]

\[Запишем\ уравнение:\]

\[\frac{n(n - 3)}{2} = 35\]

\[n(n - 3) = 70\]

\[n^{2} - 3n - 70 = 0\]

\[D = ( - 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 70) =\]

\[= 9 + 280 = 289\]

\[n_{1} = \frac{3 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 17}{2} =\]

\[= \frac{20}{2} = 10\ (сторон) - имеет\ \]

\[многоугольник.\]

\[n_{2} = \frac{3 - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 17}{2} =\]

\[= - \frac{14}{2} = - 7\ (не\ подходит).\]

\[Ответ:10\ сторон.\]