Найдите три последовательных натуральных числа, если удвоенный квадрат первого из них на 26 больше произведения второго и третьего чисел.

\[Пусть\ n,\ (n + 1),\ (n + 2) -\]

\[последовательные\ \]

\[натуральные\ числа.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[2n^{2} - 26 = (n + 1)(n + 2)\]

\[2n^{2} - 26 = n^{2} + 2n + n + 2\]

\[2n² - 26 - n^{2} - 2n - n - 2 = 0\]

\[n^{2} - 3n - 28 = 0\]

\[D = ( - 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 28) =\]

\[= 9 + 112 = 121\]

\[n_{1} = \frac{3 + \sqrt{121}}{2} = \frac{3 + 11}{2} =\]

\[= \frac{14}{2} = 7\ (первое\ число).\]

\[n_{2} = \frac{3 - \sqrt{121}}{2} = \frac{3 - 11}{2} =\]

\[= - \frac{8}{2} = - 4 \Longrightarrow не\ подходит,\ \]

\[так\ как\ не\ натуральное.\]

\[n_{1} + 1 = 7 + 1 =\]

\[= 8 - второе\ число.\ \ \]

\[n_{1} + 2 = 7 + 2 =\]

\[= 9 - третье\ число.\]

\[Ответ:7;\ \ 8;\ \ 9.\]