Сколько сторон имеет многоугольник, если в нём можно провести 20 диагоналей?

\[Формула\ для\ вычисления\ \]

\[количества\ диагоналей\ \]

\[n - угольника:\]

\[N = \frac{n(n - 3)}{2};\]

\[N - количество\ диагоналей,\ \]

\[n - количество\ вершин\]

\[(равное\ количеству\ вершин).\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[\frac{n(n - 3)}{2} = 20\]

\[n(n - 3) = 40\]

\[n^{2} - 3n - 40 = 0\]

\[D = ( - 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 40) =\]

\[= 9 + 160 = 169\]

\[n_{1} = \frac{3 + \sqrt{169}}{2} = \frac{3 + 13}{2} =\]

\[= \frac{16}{2} = 8\ (сторон) - имеет\ \]

\[многоугольник.\]

\[n_{2} = \frac{3 - \sqrt{169}}{2} = \frac{3 - 13}{2} =\]

\[= - \frac{10}{2} = - 5 \Longrightarrow не\ подходит.\]

\[Ответ:8\ сторон.\]