Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 10, 2*корень из 5, 2, ….

Ответ:

\[10;2\sqrt{5};\ \ 2;\ldots\]

\[q = \frac{2\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{5};\]

\[S = \frac{10}{1 - \frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{10}{\frac{5 - \sqrt{5}}{5}} =\]

\[= \frac{50}{5 - \sqrt{5}} = \frac{50 \cdot \left( 5 + \sqrt{5} \right)}{\left( 5 - \sqrt{5} \right)\left( 5 + \sqrt{5} \right)} =\]

\[= \frac{50 \cdot (5 + \sqrt{5})}{25 - 5} = \frac{25 + 5\sqrt{5}\ }{2}.\]