Найдите первый член, знаменатель и количество членов конечной геометрической прогрессии (zn), если z5-z3=36, z4-z3=36, а сумма всех членов Sn=381.

Ответ:

\[\left\{ \begin{matrix} z_{5} - z_{1} = 9 \\ z_{3} + z = 3\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} z_{1}q^{4} - z_{1} = 9 \\ z_{1}q^{2} + z_{1} = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} z_{1}\left( q^{4} - 1 \right) = 9 \\ z_{1}\left( q^{2} + 1 \right) = 3 \\ \end{matrix} \right.\ \ \ \ \ |\ :\]

\[\frac{\left( q^{2} - 1 \right)\left( q^{2} + 1 \right)}{q^{2} + 1} = 3\]

\[q^{2} - 1 = 3\]

\[q^{2} = 4\]

\[q = \pm 2.\]

\[z_{1} = \frac{9}{q^{4} - 1} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}\]

\[При\ q = 2:\]

\[\frac{\frac{3}{5} \cdot (2^{n} - 1)}{2 - 1} = 153\]

\[2^{n} - 1 = 255\]

\[2^{n} = 256\]

\[2^{n} = 2^{8}\]

\[n = 8.\]

\[При\ q = - 2:\]

\[\frac{\frac{3}{5} \cdot (( - {2)}^{n} - 1)}{- 2 - 1} = 153\]

\[0,6 \cdot \left( ( - 2)^{n} - 1 \right) = - 459\]

\[0,6 \cdot ( - 2)^{n} - 0,6 = - 459\]

\[0,6 \cdot ( - 2)^{n} = - 458,4\]

\[{( - 2)}^{n} = - 764\]

\[n \notin N.\]

\[Ответ:z_{1} = \frac{3}{5};\ \ q = 2;\ \ n = 8.\]