Найдите \( tg 2a \), если \( sina = \frac{\sqrt{17}}{9} \) и \( -\pi < a < -\frac{\pi}{2} \).

Сначала найдём \( cosa \). Так как \( -\pi < a < -\frac{\pi}{2} \), то \( a \) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен. Используем основное тригонометрическое тождество: \[sin^2 a + cos^2 a = 1\] \[cos^2 a = 1 - sin^2 a = 1 - \left(\frac{\sqrt{17}}{9}\right)^2 = 1 - \frac{17}{81} = \frac{64}{81}\] \[cos a = -\sqrt{\frac{64}{81}} = -\frac{8}{9}\] Теперь найдём \( sin 2a \) и \( cos 2a \): \[sin 2a = 2 sin a cos a = 2 \cdot \frac{\sqrt{17}}{9} \cdot \left(-\frac{8}{9}\right) = -\frac{16\sqrt{17}}{81}\] \[cos 2a = cos^2 a - sin^2 a = \left(-\frac{8}{9}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{17}}{9}\right)^2 = \frac{64}{81} - \frac{17}{81} = \frac{47}{81}\] Наконец, найдём \( tg 2a \): \[tg 2a = \frac{sin 2a}{cos 2a} = \frac{-\frac{16\sqrt{17}}{81}}{\frac{47}{81}} = -\frac{16\sqrt{17}}{47}\] Ответ: $\frac{-16 \sqrt{17}}{47}$