11. На сторонах AB и AC треугольника ABC взяли точки M и N соответственно так, что AM=6, MB=8, AN=4 и NC=12. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника AMN равна 9.

Решение: Площадь треугольника AMN равна 9. Нужно найти площадь треугольника ABC. 1. Находим стороны AB и AC: (AB = AM + MB = 6 + 8 = 14) (AC = AN + NC = 4 + 12 = 16) 2. Отношение площадей треугольников AMN и ABC можно выразить как: \[ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM \cdot AN}{AB \cdot AC} \] 3. Подставляем известные значения: \[ \frac{9}{S_{ABC}} = \frac{6 \cdot 4}{14 \cdot 16} \] \[ \frac{9}{S_{ABC}} = \frac{24}{224} \] 4. Решаем уравнение относительно S_{ABC}: \[ S_{ABC} = \frac{9 \cdot 224}{24} \] \[ S_{ABC} = \frac{2016}{24} \] \[ S_{ABC} = 84 \] Ответ: 84