11. Медиана прямоугольного треугольника \(ABC\), проведенная из вершины прямого угла \(C\), равна 6.5. Найдите площадь треугольника \(ABC\), если \(\cos \angle B = \frac{5}{13}\).

Пусть \(CM\) - медиана, проведенная из вершины прямого угла \(C\) к гипотенузе \(AB\). В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть \(CM = AM = BM = 6.5\). Следовательно, \(AB = 2CM = 2 \cdot 6.5 = 13\). Так как \(\cos \angle B = \frac{5}{13}\), то \(\cos \angle B = \frac{BC}{AB}\). Отсюда \(BC = AB \cdot \cos \angle B = 13 \cdot \frac{5}{13} = 5\). Теперь найдем \(AC\) по теореме Пифагора: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\), следовательно, \(AC^2 = AB^2 - BC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\), откуда \(AC = \sqrt{144} = 12\). Площадь прямоугольного треугольника \(ABC\) равна \(\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30\). Ответ: 30