11. Медиана прямоугольного треугольника \( ABC \), проведённая из вершины прямого угла \( C \), равна \( \sqrt{10} \). Найдите площадь треугольника \( ABC \), если \( tg \angle B = 2 \).

Решение: Пусть \( CM \) - медиана, проведённая к гипотенузе \( AB \). Тогда \( CM = \sqrt{10} \). В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, \( AB = 2CM = 2\sqrt{10} \). Пусть \( AC = a \) и \( BC = b \). По условию \( tg \angle B = \frac{AC}{BC} = \frac{a}{b} = 2 \), откуда \( a = 2b \). По теореме Пифагора для треугольника \( ABC \): \[AC^2 + BC^2 = AB^2\]\[(2b)^2 + b^2 = (2\sqrt{10})^2\]\[4b^2 + b^2 = 4 \cdot 10\]\[5b^2 = 40\]\[b^2 = 8\]\[b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\] Тогда \( a = 2b = 4\sqrt{2} \). Площадь треугольника \( ABC \) равна: \[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 4 \cdot 2 = 8\] Ответ: 8.