Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Теорема о вписанном угле: Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Доказательство: Рассмотрим окружность с центром в точке O. Пусть вписанный угол \(\angle ABC\) опирается на дугу \(\cup AC\). 1. Случай 1: Центр окружности O лежит на стороне угла, например, на стороне AB. Тогда \(\angle AOC\) – центральный, и \(\angle AOC\) – внешний угол треугольника \(\triangle BOC\). Следовательно, \(\angle AOC = \angle OBC + \angle BCO\). Так как \(OB = OC\) (радиусы), то \(\triangle BOC\) – равнобедренный, и \(\angle OBC = \angle BCO\). Значит, \(\angle AOC = 2 \cdot \angle OBC\), откуда \(\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC\). 2. Случай 2: Центр окружности O лежит внутри угла \(\angle ABC\). Проведем диаметр BD. Тогда \(\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC\). По доказанному в первом случае, \(\angle ABD = \frac{1}{2} \angle AOD\) и \(\angle DBC = \frac{1}{2} \angle DOC\). Следовательно, \(\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOD + \frac{1}{2} \angle DOC = \frac{1}{2} (\angle AOD + \angle DOC) = \frac{1}{2} \angle AOC\). 3. Случай 3: Центр окружности O лежит вне угла \(\angle ABC\). Проведем диаметр BD. Тогда \(\angle ABC = \angle DBC - \angle DBA\). По доказанному в первом случае, \(\angle DBC = \frac{1}{2} \angle DOC\) и \(\angle DBA = \frac{1}{2} \angle DOA\). Следовательно, \(\angle ABC = \frac{1}{2} \angle DOC - \frac{1}{2} \angle DOA = \frac{1}{2} (\angle DOC - \angle DOA) = \frac{1}{2} \angle AOC\). Таким образом, во всех случаях вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть половине градусной меры этой дуги.