128. Докажите, заполнив пропуски, свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Дано: ΔABC, ∠ACB = 90°, ∠ABC = 30°. Доказать: $BC = \frac{1}{2}AB$. Доказательство. 1) Отметим на луче AC точку D так, что BC = CD. Соединим точки B и D (дополнительное построение). 2) ∠A = 90° - 30° = 60° (так как сумма углов треугольника равна 180° и ΔABC - прямоугольный). ΔABC = ΔDBC (по двум сторонам и углу между ними). ∠CBD = ∠CBA (из п.1). 3) ∠CBD + ∠CBA = 60° (так как ∠CBD = ∠CBA = 30°). 4) ∠D = ∠A = 60° (из п. 2 и 3). AB = AD = BD (из п. 2 и 3). AC = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$AB (из п. 1 и 4). Теорема доказана.