510 Докажите признаки ромба. Параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

Здравствуйте, ученики! Переходим к задаче 510, в которой нужно доказать признаки ромба. **a) Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то это ромб.** **Доказательство:** Пусть дан параллелограмм ABCD, у которого диагонали AC и BD пересекаются в точке O под прямым углом ($\angle AOB = 90^\circ$). 1. **Свойство параллелограмма:** Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Значит, AO = OC и BO = OD. 2. **Рассмотрим треугольники AOB и AOD.** У них сторона AO общая, BO = OD (из свойства параллелограмма), и $\angle AOB = \angle AOD = 90^\circ$ (по условию). 3. **Признак равенства треугольников:** По первому признаку (две стороны и угол между ними) треугольники AOB и AOD равны. Следовательно, AB = AD. 4. **Определение ромба:** В параллелограмме ABCD стороны AB и AD смежные и равны. Значит, ABCD – ромб (по определению ромба). **б) Если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то это ромб.** **Доказательство:** Пусть дан параллелограмм ABCD, у которого диагональ AC делит угол A пополам, то есть $\angle BAC = \angle DAC$. 1. **Свойство параллелограмма:** В параллелограмме противоположные стороны параллельны, то есть BC || AD. Тогда $\angle BCA = \angle DAC$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. 2. **Рассмотрим углы BAC и BCA:** Так как $\angle BAC = \angle DAC$ (по условию) и $\angle BCA = \angle DAC$ (доказано выше), то $\angle BAC = \angle BCA$. 3. **Свойство равнобедренного треугольника:** В треугольнике ABC углы при основании AC равны, следовательно, треугольник ABC равнобедренный, и AB = BC. 4. **Определение ромба:** В параллелограмме ABCD смежные стороны AB и BC равны. Значит, ABCD – ромб (по определению ромба). **Вывод:** Мы доказали, что если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны или диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то этот параллелограмм является ромбом.